☝ Les restes possibles dans une division euclidienne - Remarque

Soit $a\in \mathbb{Z}$ et $b\in {\mathbb{N}}^{\ast }$ .

On note $a=bq+r$ , avec $0⩽r<b$ , la division euclidienne de  $a$ par $b$ .

• Dans la division euclidienne de  $a$ par $b$ , il y a  $b$ restes possibles : $0;1;2;...;b-1$ .
  
• L'égalité $a=bq+r$ n'est en soi pas unique : plusieurs couples d'entiers relatifs  $(q;r)$ peuvent fonctionner. Cependant, un seul de ces couples vérifie la condition $0⩽r<b$ . C'est seulement pour ce couple particulier que l'égalité $a=bq+r$ est une division euclidienne.

Exemple

On peut écrire : $39=4\times 10-1$ ; $39=4\times 9+3$ ; $39=4\times 8+7$ ; $39=4\times 7+11$ ; etc.
La division euclidienne de  $39$ par  $4$  correspond à l'égalité $39=4\times 9+3$ , car $0⩽3<4$ .